Suma, resta, multiplicación y división de matrices (parte conceptual y ejercicios prácticos resueltos)

• Suma:

Si las matrices A=(a_ij) y B=(b_ij) tienen la misma dimensión, la matriz suma es:

La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

                          A+B=(a_ij+b_ij).

Propiedades de la suma de matrices:

• Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

• Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

• Elemento opuesto:

A + (−A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

• Conmutativa:

A + B = B + A

• Ejercicios (resueltos):

1.  

 

2. 

• Resta:

 Para comprender la noción de resta de matrices, primero debemos saber qué son las matrices en el ámbito de la matemática. Una matriz es una serie de símbolos y/o números que se ubican en líneas verticales y horizontales y que se disponen como rectángulo.

 Cada uno de los números que componen este arreglo en dos dimensiones al que llamamos matriz se denomina entrada, y debe estar ordenado en filas (que también se conocen con el nombre de renglones) y columnas, como se menciona en el párrafo anterior. La forma de referirse a una matriz con un número n de filas y uno m de columnas es matriz n x m (nótese que la x es el signo de multiplicación, por lo cual se lee “por”).

 Es importante señalar que las matrices tienen diversas aplicaciones, algunas de las cuales se resumen a continuación:

 Para restar dos matrices, por lo tanto, se deben restar entre sí aquellos componentes que se sitúan en la misma posición. Tomemos el ejemplo de esta primera imagen, con sus dos matrices.

En este caso, siguiendo con la definición que dimos líneas arriba, deberíamos completar los siguientes pasos para resolver la operación. Comenzamos con la primera columna (es decir, con los números en sentido vertical):

2 – 6 = – 4

3 – 2 = 1

5 – (–1) = 6

Luego seguimos con la segunda columna:

5 – (–2) = 7

2 – 4 = – 2

– 6 – 8 = – 14

Finalmente, restamos los elementos de la tercera columna:

– 4 – 3 = – 7

1 – 5 = – 4

3 – 5 = – 2

De este modo, sólo nos queda ordenar los números para obtener el resultado de esta resta de matrices, tal y como se en la imagen de arriba.

• Ejercicios(resueltos):

1.

2.

• Multiplicación:

 Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con elnúmero de filas de B.

  M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

 

 El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades de la multiplicación de matrices

• Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

• Elemento neutro:

A · I = A

 Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

• No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

• Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

• Ejercicios (resueltos):

1.

2.

• División:

 La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador.  Es decir, sean las matrices A y B  tal queA/B = AB^-1:

 Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.

Ejemplo:

• Ejercicio (resuelto):